Một điểm M(x; y; z) thuộc $\left( \alpha \right)$ khi và chỉ hai vectơ $\ n$ và $\ {{M_o}M}$ có mối quan hệ gì?...

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Gọi $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$ và ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ là một điểm thuộc $\left( \alpha \right)$.

a) Một điểm M(x; y; z) thuộc $\left( \alpha \right)$ khi và chỉ hai vectơ $\overrightarrow n$ và $\overrightarrow {{M_o}M}$ có mối quan hệ gì?

b) Một điểm M(x; y; z) thuộc $\left( \alpha \right)$ khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức nào?

Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của 2 vectơ để chứng minh: Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của 2 vectơ $\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {x’;y’;z’} \right)$ được xác định bởi công thức: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = xx’ + yy’ + zz’$.

a) Một điểm M(x; y; z) thuộc $\left( \alpha \right)$ khi và chỉ hai vectơ $\overrightarrow n$ và $\overrightarrow {{M_o}M}$ vuông góc với nhau.

b) Ta có: $\overrightarrow {{M_o}M} = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)$. Vì M(x; y; z) thuộc $\left( \alpha \right)$ thì $\overrightarrow n \bot \overrightarrow {{M_o}M}$.

Suy ra: $A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$

Vậy điểm M(x; y; z) thuộc $\left( \alpha \right)$ khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức $A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$.