Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A\left( {1;2;3} \right), B\left( { - 1;3;4} \right), C\left( {2; - 1...

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng $A\left( {1;2;3} \right),B\left( { - 1;3;4} \right),C\left( {2; - 1;2} \right)$

a) Hãy chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC).

b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

a) Mặt phẳng (ABC) có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} \left( { - 2;1;1} \right),\overrightarrow {AC} \left( {1, - 3; - 1} \right)$.

b) Mặt phẳng (ABC) có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} \left( { - 2;1;1} \right),\overrightarrow {AC} \left( {1, - 3; - 1} \right)$ nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$.

Ta có: $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\{ - 3}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\{ - 1}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1\\1&{ - 3}\end{array}} \right|} \right) = \left( {2; - 1;5} \right)$

Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm $A\left( {1;2;3} \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2; - 1;5} \right)$ nên phương trình mặt phẳng (ABC) là: $2\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 2} \right) + 5\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 5z - 15 = 0$.