Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và biết cặp vectơ chỉ phương \(\ u = \left( {a;b;c} \right)...

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và biết cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow v = \left( {a’;b’;c’} \right)$.

a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

b) Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

Sử dụng kiến thức về phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$ thì có phương trình là:

$A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + Cz + D = 0$ với $D = A{x_0} - B{y_0} - C{y_0}$

a) Vì $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ là các vectơ chỉ phương của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Do đó, $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ cùng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {bc’ - b’c;ca’ - c’a;ab’ - a’b} \right)$.

b) Vì mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$ và đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ nên phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là:

$\left( {bc’ - b’c} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {ca’ - c’a} \right)\left( {y - {y_0}} \right) + \left( {ab’ - a’b} \right)\left( {z - {z_0}} \right) = 0$