Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;2; - 4} \right)$ và vuông góc với trục Oz...

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;2; - 4} \right)$ và vuông góc với trục Oz.

Sử dụng kiến thức về phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$ thì có phương trình là:

$A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + Cz + D = 0$ với $D = - \left( {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0}} \right)$

Vì mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ vuông góc với trục Oz nên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nhận $\overrightarrow n \left( {0;0;1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Mà mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;2; - 4} \right)$ nên phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $0\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 2} \right) + 1.\left( {z + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow z + 4 = 0$