Vị trí $M\left( {\cos t - \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)$ có luôn thuộc mặt phẳng $\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)$ hay không?...

Trong tình huống mở đầu, hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.

a) Xác định tọa độ của vị trí ${M_1},{M_2},{M_3}$ của vật tương ứng với các thời điểm $t = 0,t = \frac{\pi }{2},t = \pi$.

b) Chứng minh rằng ${M_1},{M_2},{M_3}$ không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng $\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)$.

c) Vị trí $M\left( {\cos t - \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)$ có luôn thuộc mặt phẳng $\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)$ hay không?

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng để viết: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$

+ Tìm vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$.

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n$.

a) Với $t = 0$ ta có: ${M_1}\left( {1;1;1} \right)$

Với $t = \frac{\pi }{2}$ ta có: ${M_2}\left( { - 1;1;0} \right)$

Với $t = \pi$ ta có: ${M_3}\left( { - 1; - 1; - 1} \right)$

b) Hai vectơ $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \left( { - 2;0; - 1} \right),\overrightarrow {{M_1}{M_3}} \left( { - 2; - 2; - 2} \right)$ không cùng phương nên ba điểm ${M_1},{M_2},{M_3}$ không thẳng hàng.

c) Mặt phẳng $\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)$ có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \left( { - 2;0; - 1} \right),\overrightarrow {{M_1}{M_3}} \left( { - 2; - 2; - 2} \right)$ nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right]$.

Ta có: $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2; - 2;4} \right)$

Mặt phẳng $\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n \left( { - 2; - 2;4} \right)$ và đi qua điểm ${M_2}\left( { - 1;1;0} \right)$ nên phương trình mặt phẳng $\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)$ là:

$- 2\left( {x + 1} \right) - 2\left( {y - 1} \right) + 4z = 0 \Leftrightarrow x + 1 + y - 1 - 2z = 0 \Leftrightarrow x + y - 2z = 0$ (1)

c) Với $M\left( {\cos t - \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)$ thay vào (1) ta có:

$\cos t-\sin t+\cos t+\sin t-2\cos t=0\Leftrightarrow 0=0\left( L D\right)$

Vậy $M\left( {\cos t - \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)$. Do đó, vật thể M luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định.