Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 Nâng cao (sách cũ) Bài 6 trang 63 Hình học 12 Nâng cao, Một hình thang...

Bài 6 trang 63 Hình học 12 Nâng cao, Một hình thang cân ABCD có các cạnh đáy AB = 2a, BD = 4a, cạnh bên AD = BC = 3a. Hãy tính thể tích và diện tích toàn phần của khối tròn xoay sinh bởi hình ...

Một hình thang cân ABCD có các cạnh đáy AB = 2a, BD = 4a, cạnh bên AD = BC = 3a. Hãy tính thể tích và diện tích toàn phần của khối tròn xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó.. Bài 6 trang 63 Hình học 12 Nâng cao - Ôn tập chương II - Mặt cầu mặt trụ mặt nón

Bài 6. Một hình thang cân \(ABCD\) có các cạnh đáy \(AB = 2a, BD = 4a\), cạnh bên \(AD = BC = 3a\). Hãy tính thể tích và diện tích toàn phần của khối tròn xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó.


Gọi \(S\) là giao điểm của hai cạnh bên \(AD\) và \(BC\) của hình thang. Đường cao \(SO\) của tam giác cân \(SCD\) là trục đối xứng của hình thang, do đó \(SO\) cắt \(AB\) tại trung điểm \(O’\) của \(AB\).

Khi quay quanh \(SO\), tam giác \(SCD\) sinh ra khối nón \(\left( {{N_1}} \right)\) có thể tích \({V_1}\), tam giác \(SAB\) sinh ra khối nón \(\left( {{N_2}} \right)\) có thể tích \({V_2}\), còn hình thang \(ABCD\) sinh ra một khối tròn xoay \(\left( H \right)\) có thể tích \(V = {V_1} - {V_2}\).

Vì \(AB = {1 \over 2}CD\) nên \(AB\) là đường trung bình của tam giác \(SCD\) nên \(SB = BC = 3a\).

Advertisements (Quảng cáo)

Ta có \(SO’ = \sqrt {S{B^2} - O'{B^2}}  = \sqrt {9{a^2} - {a^2}}  = 2\sqrt 2 a\)

\(\eqalign{
& SO = 2SO’ = 4\sqrt 2 a \cr
& V = {V_1} - {V_2} = {1 \over 3}\pi O{C^2}.SO - {1 \over 3}\pi O'{B^2}.SO’ = {1 \over 3}\pi 4{a^2}.SO - {1 \over 3}\pi {a^2}SO’ \cr
& = {1 \over 3}\pi {a^2}\left( {4SO - SO’} \right) = {1 \over 3}\pi {a^2}\left( {16\sqrt 2 a - 2\sqrt 2 a} \right) = {{14\sqrt 2 } \over 3}\pi {a^3} \cr} \)

Diện tích xung quanh của khối tròn xoay \((H)\) là:

\(\eqalign{
& {S_{xq}} = {S_1} - {S_2} = \pi OC.SC - \pi O’B.SB = 9\pi {a^2} \cr
& {S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = 9\pi {a^2} + \pi {a^2} + 4\pi {a^2} = 14\pi {a^2} \cr} \)

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 12 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây: