Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 Nâng cao Bài 5 trang 63 Hình học 12 Nâng cao, Cho tam giác...

Bài 5 trang 63 Hình học 12 Nâng cao, Cho tam giác ABC vuông tại A, . Gọi là thể tích các khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kê cả các điểm trong)...

Cho tam giác ABC vuông tại A, . Gọi là thể tích các khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kê cả các điểm trong) khi lần lượt quay quanh AB, AC, BC.. Bài 5 trang 63 Hình học 12 Nâng cao – Ôn tập chương II – Mặt cầu mặt trụ mặt nón

Advertisements (Quảng cáo)

Bài 5. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB = c,\,AC = b\) . Gọi \({V_1},{V_2},{V_3}\)  là thể tích các khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kê cả các điểm trong) khi lần lượt quay quanh \(AB, AC, BC\).

a) Tính \({V_1},{V_2},{V_3}\) theo \(b, c\).

b) Chứng minh rằng \({1 \over {V_3^2}} = {1 \over {V_1^2}} + {1 \over {V_2^2}}\)


a) Khi quay tam giác \(ABC\) quanh \(AB\) ta được khối nón có chiều cao \(AB = c\) và bán kính đáy \(AC = b\) nên có thể tích \(V_1 = {1 \over 3}\pi c{b^2}\)

Tương tự khi quay tam giác \(ABC\) quanh \(AC\) ta được khối nón có thể tích \({V_2} = {1 \over 3}\pi b{c^2}\)

Gọi \(AH\) là chiều cao của tam giác \(ABC\). Khi quay tam giác \(ABC\) quanh \(BC\) ta được hai khối nón sinh bởi hai tam giác \(ABH\) và \(ACH\).

Khi đó ta có
\({V_3} = {1 \over 3}\pi A{H^2}.BH + {1 \over 3}\pi A{H^2}.CH = {1 \over 3}\pi AH.BC = {1 \over 3}\pi {\left( {{{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}} \right)^2}\sqrt {{b^2} + {c^2}}  = {1 \over 3}{{\pi {b^2}{c^2}} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}\)

b) Ta có: \({1 \over {V_3^2}} = {{9\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} \over {\pi {b^4}{c^4}}}\)

\({1 \over {V_1^2}} + {1 \over {V_2^2}} = {9 \over {\pi {c^2}{b^4}}} + {9 \over {\pi {b^2}{c^4}}} = {{9\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \over {\pi {b^4}{c^4}}} = {1 \over {V_3^2}}\)