Bài 6 trang 50 SGK Hình học 12: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD...

Bài 6. Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Từ tâm $O$ của hình vuông dựng đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Trên $\Delta$ lấy điểm $S$ sao cho $OS ={a \over 2}$. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$. Tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.

Do $\Delta$ là trục của hình vuông $ABCD$, nên tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ nằm trên $\Delta$.

Vì $SO = {a \over 2} < OC = {{a\sqrt 2 } \over 2}$ nên tâm $I$ của mặt cầu nằm trên phần kéo dài của $SO$.

Ta có: $SI = IC \Rightarrow {a \over 2} + OI = \sqrt {O{I^2} + O{C^2}}$

$\Rightarrow {\left( {{a \over 2} + OI} \right)^2} = O{I^2} + {{{a^2}} \over 2}$

$\Rightarrow O{I^2} + a.OI + {{{a^2}} \over 4} = O{I^2} + {{{a^2}} \over 4}$

$\Rightarrow OI = {a \over 4} \Rightarrow R = SO + OI = {{3a} \over 4}$

Vậy tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ nằm trên $SO$ mà $SI = R =$ ${{3a} \over 4}$ ; ($R$ là bán kính hình cầu). Khi đó diện tích mặt cầu là:

$S = 4\pi {R^2} = {9 \over 4}\pi {a^2}$ (đvdt)

Thể tích của khối cầu là: $V = {4 \over 3}\pi {R^3} = {9 \over {16}}{\pi ^3}$ (đvdt)