Câu 13 trang 148 Giải tích 12: ÔN TẬP CUỐI NĂM - GIẢI TÍCH 12...

Bài 13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng

a) $y = x^2 + 1, x = -1, x = 2$ và trục hoành

b) $y = ln x, x = {1 \over e}, x = e$ và trục hoành

a) Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S = \int\limits_{ - 1}^2 {({x^2} + 1)dx = ({{{x^3}} \over 3}}  + x)\left| {_{ - 1}^2} \right. = 6$

 b) Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$\eqalign{& S = \int\limits_{{1 \over e}}^e {|\ln x|dx = \int\limits_{{1 \over e}}^1 {|\ln x|dx + } } \int\limits_1^e {|\ln x|dx} \cr & = - \int\limits_{{1 \over e}}^1 {\ln xdx + \int\limits_1^e {\ln xdx} } \cr}$

 Mặt khác:

$\int {\ln xdx = x\ln x - \int {xd\ln x = x\ln x - \int {dx = x\ln x - x + C} } }$

 Do đó:

$\eqalign{ & S = - \int\limits_{{1 \over e}}^1 {\ln xdx + \int\limits_1^e {\ln xdx} } = \int\limits_1^{{1 \over e}} {\ln xdx + \int\limits_1^e {xdx} } \cr & = (x\ln x - x)\left| {_1^{{1 \over e}}} \right. + (x\ln x - x)\left| {_1^e} \right. = 2(1 - {1 \over e}) \cr}$