Câu 5 trang 45 Giải tích 12: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1...

Bài 5. Cho hàm số $y = 2x^2 + 2mx + m -1$ có đồ thị là (C_m), $m$ là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi $m = 1$

b) Xác định m để hàm số:

- Đồng biến trên khoảng $(-1, +∞)$

- Có cực trị trên khoảng $(-1, +∞)$

c) Chứng minh rằng (C_m) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi $m$.

$y = 2x^2 + 2mx + m -1$ (C_m). Đây là hàm số bậc hai, đồ thị là parabol quay bề lõm lên phía trên.

a) $m = 1 ⇒ y = 2x^2+ 2x$

Tập xác định $D =\mathbb R$

* Sự biến thiên:
$y’ = 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = {{ - 1} \over 2}$

- Hàm số đồng biến trên khoảng $({-1\over2};+\infty)$, nghịch biến trên khoảng $(-\infty; {-1\over2})$

- Cực trị:

    Hàm số đạt cực tiểu tại $x={-1\over2}$; $y_{CT}={-3\over 2}$

- Giới hạn:

   $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty$

Bảng biến thiên:

*Đồ  thị

Đồ thị hàm số giao trục $Ox$ tại hai điểm $(-1;0)$ và $(0;0)$

b) Tổng quát $y = 2x^2+ 2mx + m -1$ có tập xác định $D = \mathbb R$

 $y’ = 4x + 2m = 0 \Leftrightarrow x = {{ - m} \over 2}$

Suy ra $y’ >$ 0 với $x > {{ - m} \over 2};y’ < 0$ với $x < {{ - m} \over 2}$ , tức là hàm số nghịch biến trên $( - \infty ,{{ - m} \over 2})$ và đồng biến trên $({{ - m} \over 2}, + \infty )$

i) Để hàm số đồng biến trên khoảng $(-1, +∞)$ thì phải có điều kiện $( - 1,{\rm{ }} + \infty ) \in ({{ - m} \over 2}, + \infty )$

  $\Leftrightarrow {{ - m} \over 2} \le  - 1 \Leftrightarrow m \ge 2$

ii) Hàm số đạt cực trị tại  $x = {{ - m} \over 2}$ .

Để hàm số đạt cực trị trong khoảng $(-1, +∞)$, ta phải có:

$\eqalign{ & {{ - m} \over 2} \in ( - 1, + \infty ) \cr & \Leftrightarrow {{ - m} \over 2} > - 1 \Leftrightarrow 1 > {m \over 2} \Leftrightarrow m < 2 \cr}$

c) (C_m) luôn cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt $x = {{ - m} \over 2}$

$⇔$ phương trình $2x^2+ 2mx + m – 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

Ta có:

$Δ’ = m^2– 2m + 2 = (m-1)^2+ 1 > 0 ∀m$

Vậy (C_m) luôn cắt $O x$ tại hai điểm phân biệt.