Câu 7 trang 46 SGK Giải tích 12: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu...

Bài 7.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số:

$y = x^3+ 3x^2+ 1$

b) Dựa vào đồ thị $(C)$, biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m

 ${x^3} + 3{x^2} + 1 = {m \over 2}$

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị $(C)$

a) $y = x^3+ 3x^2+ 1$

Tập xác định: $D =\mathbb R$

* Sự biến thiên:

$y’= 3x^2+ 6x = 3x(x+ 2)$

$y’=0  ⇔ x = 0, x = -2$.

- Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;-2)$ và $(0;+\infty)$, nghịch biến trên khoảng $(-2;0)$

- Cực trị:

    Hàm số đạt cực đại tại $x=-2$; $y_{CĐ}=5$

    Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$; $y_{CT}=1$.

- Giới hạn:

    $\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \cr}$

- Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao $Oy$ tại $(0;1)$

Đồ thị hàm số nhận $I(-1;3)$ làm tâm đối xứng.

b) Số nghiệm của phương trình ${x^3} + 3{x^2} + 1 = {m \over 2}$ chính là số giao điểm của $(C)$ và đường thẳng $(d)$: $y = {m \over 2}$ 

Từ đồ thị ta thấy:

- Với ${m \over 2} < 1 \Leftrightarrow m < 2$ : (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm

- Với ${m \over 2} = 1  ⇔ m = 2$: (d) tiếp xúc với (C) tại 1 điểm và cắt (C) tạo 1 điểm, phương trình có hai nghiệm

- Với $1 < {m \over 2} < 5 ⇔ 2<m<10$, phương trình có 3 nghiệm.

- Với  ${m \over 2} = 5 \Leftrightarrow m = 10$: (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.

- Với ${m \over 2} > 5 \Leftrightarrow m > 10$ : (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm

c) Điểm cực đại $(-2, 5)$, điểm cực tiểu $(0, 1)$. 

Đường thẳng đi qua hai  điểm này có phương trình là: ${{y - 1} \over 4} = {x \over { - 2}} \Leftrightarrow y =  - 2x + 1$