Lý thuyết phép chia phân số, 1. Số nghịch đảo. Hai số được gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1....

1. Số nghịch đảo 

Hai số được gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1.

Từ đó suy ra chỉ có những số khác 0 thì mới có số nghịch đảo.

Nếu phân số $\frac{a}{b}\neq 0$ thì số nghịch đảo của nó là $\frac{b}{a}$ .

2. Phép chia phân số 

Muốn chia một phân số cho một phân số khác 0, ta nhân phân số bị chia với số nghịch đảo của số chia.

                 $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.\frac{d}{c}$, với $\frac{c}{d}\neq 0$.

Nói riêng:

Nếu a là một số nguyên và $\frac{c}{d}\neq 0$ thì $a:\frac{c}{d}=\frac{a}{1}:\frac{c}{d}=\frac{a}{1}.\frac{d}{c}=\frac{a.d}{c}$.

Nếu c là một số nguyên khác 0 thì $\frac{a}{b}:c=\frac{a}{b}:\frac{c}{1}=\frac{a}{b}.\frac{1}{c}=\frac{a}{b.c}$ .

Như vậy :

Muốn chia một số nguyên cho một phân số khác 0, ta nhân số nguyên với nghịch đảo của số chia.

                                            $a:\frac{c}{d}=\frac{a.d}{c}$.

Muốn chia một phân số cho một số nguyên khác 0, ta nhân mẫu của phân số bị chia với số nguyên và giữ nguyên tử số.

                                           $\frac{a}{b}:c=\frac{a}{b.c}$.

Lưu ý:

a) Nếu $\frac{a}{b}\neq 0$ , $\frac{c}{d}\neq 0$ và $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{p}{q}$ thì nhân cả hai vế của đẳng thức này với $\frac{c}{d}$ ta được $\left (\frac{a}{b}:\frac{c}{d} \right ).\frac{c}{d}=\frac{p}{q}.\frac{c}{d}.$

Nhưng vế trái 

$\left (\frac{a}{b}:\frac{c}{d} \right ).\frac{c}{d}=\left (\frac{a}{b}.\frac{d}{c} \right ).\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.\left (\frac{d}{c}.\frac{c}{d} \right )=\frac{a}{b}.1=\frac{a}{b}$.

Vậy $\frac{a}{b}=\frac{p}{q}.\frac{c}{d}$.

Bây giờ chia cả hai vế của đẳng thức vừa tìm được cho $\frac{p}{q}$ ta được:

             $\frac{a}{b}:\frac{p}{q}=\left (\frac{p}{q}.\frac{c}{d} \right ):\frac{p}{q}=\left (\frac{p}{q}.\frac{c}{d} \right ).\frac{q}{p}$

        $=\left (\frac{c}{d}.\frac{p}{q} \right ).\frac{q}{p}=\frac{c}{d}.\left (\frac{p}{q}.\frac{q}{p} \right )\frac{c}{d}.1=\frac{c}{d}.$

Vậy  $\frac{c}{d}=\frac{a}{b}:\frac{c}{d}.$

b) Nếu $\frac{c}{d}\neq 0$ và $\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{p}{q}$ thì  $\frac{a}{b}=\frac{p}{q}:\frac{c}{d}.$

Thật vậy nếu $\frac{c}{d}\neq 0$ và $\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{p}{q}$ thì chia cả hai vế của đẳng thức cho $\frac{c}{d}$ ta được:

          $\left (\frac{a}{b}.\frac{c}{d} \right ):\frac{c}{d}=\left (\frac{a}{b}.\frac{c}{d} \right ).\frac{d}{c}=\frac{a}{b}.\left (\frac{c}{d}.\frac{d}{c} \right )=\frac{a}{b}.1=\frac{a}{b}.$

Vậy $\frac{a}{b}=\frac{p}{q}:\frac{c}{d}$.