Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AM, AN với BE. Chứng minh BI = IK = KE.
Sử dụng tính chất ba đường trung tuyến của tam giác để chứng minh: \(BI = IK = EK = \frac{1}{3}BE\)
Xét tam giác ABC có BD và AM là các đường trung tuyến, BD cắt AM tại I.
Suy ra I là trọng tâm của tam giác ABC.
Nên \(BI = \frac{2}{3}B{\rm{D}}\)(1)
Xét tam giác AEC có ED và AN là các đường trung tuyến, ED cắt AN tại K.
Advertisements (Quảng cáo)
Suy ra K là trọng tâm của tam giác AEC.
Nên \(EK = \frac{2}{3}E{\rm{D}}\)(2)
Mặt khác BD = DE, DB + DE = BE
Nên \(B{\rm{D}} = DE = \frac{1}{3}BE\)(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
\(BI = EK = \frac{2}{3}B{\rm{D}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}BE = \frac{1}{3}BE\).
Ta lại có: BI + IK + KE = BE.
Suy ra \(\frac{1}{3}BE + IK + \frac{1}{3}BE = BE\)
Suy ra \(IK = \frac{1}{3}BE\)
Do đó BI = IK = EK (cùng bằng \(\frac{1}{3}BE\)).
Vậy BI = IK = EK.