Bài 74 trang 90 SBT Toán lớp 7 Cánh diều: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho...

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AM, AN với BE. Chứng minh BI = IK = KE.

Sử dụng tính chất ba đường trung tuyến của tam giác để chứng minh: $BI = IK = EK = \frac{1}{3}BE$

Xét tam giác ABC có BD và AM là các đường trung tuyến, BD cắt AM tại I.

Suy ra I là trọng tâm của tam giác ABC.

Nên $BI = \frac{2}{3}B{\rm{D}}$(1)

Xét tam giác AEC có ED và AN là các đường trung tuyến, ED cắt AN tại K.

Suy ra K là trọng tâm của tam giác AEC.

Nên $EK = \frac{2}{3}E{\rm{D}}$(2)

Mặt khác BD = DE, DB + DE = BE

Nên $B{\rm{D}} = DE = \frac{1}{3}BE$(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

$BI = EK = \frac{2}{3}B{\rm{D}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}BE = \frac{1}{3}BE$.

Ta lại có: BI + IK + KE = BE.

Suy ra $\frac{1}{3}BE + IK + \frac{1}{3}BE = BE$

Suy ra $IK = \frac{1}{3}BE$

Do đó BI = IK = EK (cùng bằng $\frac{1}{3}BE$).

Vậy BI = IK = EK.