Kí hiệu SABC là diện tích tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh SGBC=13SABC
Gợi ý: Sử dụng GM=13AM để chứng minh SGMB=13SABM,SGCM=13SACM.
b) Chứng minh SGCA=SGAB=13SABC.
a)
Kẻ BP⊥AM, CN⊥AM
Sử dụng GM=13AM để chứng
minh SGMB=13SABM,SGCM=13SACM.
b)
-Chứng minh SGAB=SGAC
-Sử dụng SABC=SGAB+SGAC+SGBC
Lời giải
a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GM=13AM
Kẻ BP⊥AM ta có
SGMP=12BP.GMSABM=12BP.AM
Advertisements (Quảng cáo)
⇒SGMPSABM=GMAM=13⇒SGMP=13SABM(1)
Tương tự, kẻ CN⊥AM, ta có
SGMC=12CN.GMSACM=12CN.AM⇒SGMCSACM=GMAM=13⇒SGMC=13SACM(2)
Cộng 2 vế của (1) và (2) ta có:
SGMB+SGMC=13(SAMC+SABM)⇒SGBC=13SABC
b)
Ta có
SGAB=12BP.AGSGAC=12CN.AG
Xét ΔBPM và ΔCNM có:
^BPM=^CNM=900
BM = CM ( M là trung điểm của BC)
^PMB=^CMN(2 góc đối đỉnh)
⇒ΔBPM=ΔCNM(cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ BP = CN (cạnh tương ứng)
⇒SGAB=SGAC
Ta có: AG=23AM
SACB=SGAB+SGAC+SGCB⇒SACB=SGAB+SGAC+13SABC⇒23SABC=2SGAC⇒13SABC=SGAC=SGAB