Bài 9.39 Toán 7 tập 2: Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, D nằm trên BC sao cho BD = 2DC...

Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, D nằm trên BC sao cho BD = 2DC. Trên đường thẳng AC, lấy điểm E sao cho C là trung điểm của AE (H.9.53). Chứng minh rằng tam giác ABE cân tại A.

Gợi ý. D là trọng tâm của tam giác ABE, tam giác này có đường phân giác AD đồng thời là đường trung tuyến.

C là trung điểm của AE

$\Rightarrow$ BC là trung tuyến của tam giác ABE (1)

D thuộc BC, $BD = 2DC \Rightarrow BD = 2\left( {BC - BD} \right) \Rightarrow 3BD = 2BC \Rightarrow BD = \dfrac{2}{3}BC$(2)

Từ (1) và (2) suy ra: D là trọng tâm của tam giác ABE

$\Rightarrow$ AD là đường trung tuyến ứng với BE

mà AD là đường phân giác của $\widehat {BAC}$ hay $\widehat {ABE}$ thuộc tam giác ABE

$\Rightarrow$ Tam giác ABE cân tại A.