Gọi AI và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a)\(AI < \dfrac{1}{2}\left( {AB + AC} \right)\)
b)\(AM < \dfrac{1}{2}\left( {AB + AC} \right)\)
a)
AI là đường cao từ A xuống đoạn thẳng BC
\( \Rightarrow AI\) là khoảng cách từ A đến BC
\( \Rightarrow AI\) ngắn nhất
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AI < AB\\AI < AC\end{array} \right.\\ \Rightarrow 2AI < AB + AC\\ \Rightarrow AI < \dfrac{1}{2}\left( {AB + AC} \right)\end{array}\)
Advertisements (Quảng cáo)
b)
Lấy D sao cho M là trung điểm của AD
Xét \(\Delta ABM\) và \(DCM\) có
AM = DM ( M là trung điểm củaAD)
BM = CM ( M là trung điểm của BC)
\(\widehat {AMB} = \widehat {CMD}\)( 2 góc đối đỉnh)
\( \Rightarrow \Delta ABM = \Delta DCM\left( {c - g - c} \right)\)
\( \Rightarrow AB = CD\)(cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta ADC\) ta có: AD < AC + CD (bất đẳng thức tam giác)
\( \Rightarrow \) 2AM < AC + AB
\( \Rightarrow \) AM < \(\dfrac{1}{2}\)(AB + AC)