Bài 6 trang 14 SBT Toán 8 - Chân trời sáng tạo: Biết rằng $x = 2a + b$ và $y = 2a - b$...

Biết rằng $x = 2a + b$ và $y = 2a - b$. Tính giá trị các biểu thức sau theo a và b

a) $A = \frac{1}{2}xy$;

b) $B = {x^2} + {y^2}$;

c) $C = {x^2} - {y^2}$;

Thay các giá trị của x, y vào biểu thức rồi thu gọn biểu thức vừa thu được dựa vào các hằng đẳng thức:

a) $\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = {a^2} - {b^2}$

b, c) ${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$, ${\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$

a) Với $x = 2a + b$ và $y = 2a - b$ ta có: $A = \frac{1}{2}\left( {2a + b} \right)\left( {2a - b} \right) = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {2a} \right)}^2} - {b^2}} \right] = \frac{1}{2}.4{a^2} - \frac{1}{2}{b^2} = 2{a^2} - \frac{{{b^2}}}{2}$

b) Với $x = 2a + b$ và $y = 2a - b$ ta có: $B = {\left( {2a + b} \right)^2} + {\left( {2a - b} \right)^2} = 4{a^2} + 4ab + {b^2} + 4{a^2} - 4ab + {b^2}$

$= \left( {4{a^2} + 4{a^2}} \right) + \left( {4ab - 4ab} \right) + \left( {{b^2} + {b^2}} \right) = 8{a^2} + 2{b^2}$

c) Với $x = 2a + b$ và $y = 2a - b$ ta có:

$C = {\left( {2a + b} \right)^2} - {\left( {2a - b} \right)^2} = 4{a^2} + 4ab + {b^2} - \left( {4{a^2} - 4ab + {b^2}} \right)$

$= 4{a^2} + 4ab + {b^2} - 4{a^2} + 4ab - {b^2}$

$= \left( {4{a^2} - 4{a^2}} \right) + \left( {4ab + 4ab} \right) + \left( {{b^2} - {b^2}} \right) = 8ab$