Bài 8 trang 57 SBT Toán 8 - Chân trời sáng tạo: Chứng minh rằng trong một tứ giác...

Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi tứ giác đó.

+ Sử dụng kiến thức về đường chéo trong tứ giác: Trong tứ giác, đường chéo là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau.

+ Sử dụng kiến thức về bất đẳng thức trong tam giác để chứng minh: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh tam giác lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Vẽ tứ giác ABCD có I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Theo bất đẳng thức trong tam giác, ta có:

$IA + IB > AB$, $IB + IC > BC$, $IC + ID > CB$, $IA + ID > AD$

Do đó: $2\left( {IA + IB + IC + ID} \right) > AB + BC + CD + DA$

Hay $2\left( {AC + BD} \right) > AB + BC + CD + DA$

Do đó: $AC + BD > \frac{{AB + BC + CD + DA}}{2}$ (đpcm)