Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E thuộc AB, F thuộc CD sao cho AE=CF; lấy các điểm G thuộc BC, H thuộc AD sao cho BG=DH. Chứng minh EGFH là một hình bình hành và các đường thẳng AC, BD, EF, GH đồng quy.
Sử dụng kiến thức về tính chất hình bình hành để chứng minh: Hình bình hành có:
+ Các cạnh đối bằng nhau và song song.
+ Các góc đối bằng nhau.
+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Vì ABCD là hình bình hành nên AB=CD,AD=BC, ^ABC=^ADC,^DAB=^DCB
Vì AB=CD, AE=CF nên AB−AE=CD−FC, suy ra EB=DF
Vì AD=BC, DH=BG nên AD−DH=BC−BG, suy ra AH=CG
Advertisements (Quảng cáo)
Tam giác HEA và tam giác GCF có:
AE=CF(gt),^HAE=^GCF(cmt),AH=CG(cmt)
Do đó, ΔHAE=ΔGCF(c−g−c), suy ra HE=FG
Tam giác EBG và tam giác FDH có:
BG=DH(gt),^EBG=^HDF(cmt),EB=DF(cmt)
Do đó, ΔEBG=ΔFDH(c−g−c), suy ra GE=FH
Tứ giác EGFH có: HE=FG, GE=FH nên EGFH là một hình bình hành.
Gọi O là trung điểm của AC.
Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O và O là trung điểm của BD (1).
Tứ giác EBFD có: EB//DF, EB=DF nên tứ giác EBDF là hình bình hành. Do đó, hai đường chéo EF và BD cắt nhau tại trung điểm O của BD (2).
Vì tứ giác EGFH là hình bình hành nên hai đường chéo EF và GH cắt nhau tại trung điểm O của EF (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có: Các đường thẳng AC, BD, EF, GH đồng quy tại O.