Bài 4.6 trang 48 SBT Toán 8 - Kết nối tri thức: Cho hình bình hành ABCD có M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Gọi P...

Cho hình bình hành ABCD có M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Gọi P, Q theo thứ tự là giao điểm của AN và CM với đường chéo BD. Chứng minh rằng: $DP = PQ = QB$

Sử dụng kiến thức tỉ số đoạn thẳng để chứng minh: Hai đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’ nếu có tỉ lệ thức: $\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{A’B’}}{{C’D’}}$ hay $\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{CD}}{{C’D’}}$.

Gọi E là giao điểm của AC và BD trong hình bình hành ABCD nên $DE = BE = \frac{1}{2}BD$, $AE = EC = \frac{1}{2}AC$

Tam giác ADC có hai đường trung tuyến AN và DE cắt nhau tại P nên P là trọng tâm của tam giác ADC. Do đó, $DP = \frac{2}{3}DE = \frac{1}{3}BD$.

Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BE và CM cắt nhau tại Q nên Q là trọng tâm của tam giác ABC. Do đó, $BQ = \frac{2}{3}BE = \frac{1}{3}BD$.

Do đó, $BQ = DP = \frac{1}{3}BD$

Mà $BQ + DP + PQ = BD$ nên $PQ = \frac{1}{3}BD$

Vậy $DP = PQ = QB$