Bài 6.21 trang 10 SBT Toán 8 - Kết nối tri thức: Chứng minh rằng nếu \(a, b, c \ne 0...

a) Chứng minh rằng nếu $a,b,c \ne 0,a + b + c = 0$ thì $\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}} = 0$

b) Chứng minh rằng nếu $x \ne y,y \ne z,z \ne x$ thì

$\frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)}} + \frac{1}{{\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {z - x} \right)\left( {x - y} \right)}} = 0$

Sử dụng kiến thức cộng các phân thức khác mẫu để cộng phân thức: Quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức cùng mẫu vừa tìm được

a) Ta có: $\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}} = \frac{c}{{abc}} + \frac{a}{{abc}} + \frac{b}{{abc}} = \frac{{a + b + c}}{{abc}}$

Theo đầu bài, $a + b + c = 0$ nên $\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}} = 0$

b) Ta có: $\frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)}} + \frac{1}{{\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {z - x} \right)\left( {x - y} \right)}}$

$= \frac{{z - x}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{{x - y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{{y - z}}{{\left( {z - x} \right)\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)}}$

$= \frac{{z - x + x - y + y - z}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = \frac{0}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = 0$