Bài 6.23 trang 10 SBT Toán 8 - Kết nối tri thức: Cho biểu thức \(P = \frac{{2x - 6}}{{{x^3} - 3{x^2} - x + 3}} + \frac{{2{x^2}}}{{1 - {x^2}}} - \frac{6}{{x...

Cho biểu thức $P = \frac{{2x - 6}}{{{x^3} - 3{x^2} - x + 3}} + \frac{{2{x^2}}}{{1 - {x^2}}} - \frac{6}{{x - 3}}\left( {x \ne 3,x \ne 1,x \ne - 1} \right)$

a) Rút gọn phân thức $\frac{{2x - 6}}{{{x^3} - 3{x^2} - x + 3}}$.

b) Chứng tỏ rằng có thể viết $P = a + \frac{b}{{x - 3}}$ trong đó a, b là những hằng số.

c) Tìm tập hợp các giá trị nguyên của x để P có giá trị là số nguyên.

a) Sử dụng kiến thức rút gọn phân thức để chứng minh:

+ Rút gọn phân thức là biến đổi phân thức đó thành một biểu thức mới bằng nó nhưng đơn giản hơn

+ Muốn rút gọn một phân thức đại số ta làm như sau:

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

b) Sử dụng kiến thức trừ hai phân thức cùng mẫu để tính: Trừ các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức: $\frac{A}{M} - \frac{B}{M} = \frac{{A - B}}{M}$

c) Một phân số là số nguyên khi tử số chia hết cho mẫu số (hay mẫu số là ước của tử số).

a) $\frac{{2x - 6}}{{{x^3} - 3{x^2} - x + 3}} = \frac{{2x - 6}}{{{x^2}\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right)}} = \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{2}{{{x^2} - 1}}$

b) $P = \frac{{2x - 6}}{{{x^3} - 3{x^2} - x + 3}} + \frac{{2{x^2}}}{{1 - {x^2}}} - \frac{6}{{x - 3}} = \frac{2}{{{x^2} - 1}} - \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}} - \frac{6}{{x - 3}}$

$= \frac{{2 - 2{x^2}}}{{{x^2} - 1}} - \frac{6}{{x - 3}} = \frac{{ - 2\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 1}} - \frac{6}{{x - 3}} = - 2 - \frac{6}{{x - 3}}$

Vậy viết P dưới dạng $P = a + \frac{b}{{x - 3}}$, trong đó a, b là những hằng số.

c) Để P có giá trị nguyên thì $\frac{{ - 6}}{{x - 3}}$ có giá trị nguyên, khi đó $x - 3$ là ước của 6.

Do đó, $\left( {x - 3} \right) \in$Ư(6)$= \left\{ {1; - 1;2; - 2;3; - 3;6; - 6} \right\}$

Ta có bảng:

Vậy $x \in \left\{ {4;\;5;\;2;\;6;\;0;\;9;\; - 3} \right\}$