Bài 9.65 trang 69 SBT Toán 8 - Kết nối tri thức: Cho tam giác ABC vuông tại A $\left( {AC > AB} \right)$...

Cho tam giác ABC vuông tại A $\left( {AC > AB} \right)$, có AD là đường phân giác của góc A (D thuộc BC). Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt cạnh AC tại E và cắt tia BA tại F. Chứng minh rằng:

a) $\Delta BDF\backsim \Delta EDC$

b) $BD = DE$

a) Sử dụng kiến thức các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông chứng minh tam giác đồng dạng: Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

b) + Sử dụng kiến thức các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông chứng minh tam giác đồng dạng: Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

+ Sử dụng tính chất phân giác trong tam giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy.

a) Vì FD vuông góc với CB tại D nên $\widehat {FDB} = \widehat {EDC} = {90^0}$.

Tam giác FBD và tam giác CED có:

$\widehat {FDB} = \widehat {EDC} = {90^0}$, $\widehat F = \widehat C\left( { = {{90}^0} - \widehat B} \right)$

Do đó, $\Delta BDF\backsim \Delta EDC\left( g-g \right)$

b) Tam giác ABC và tam giác DEC có:

$\widehat {BAC} = \widehat {EDC} = {90^0},\widehat C\;chung$

Do đó, $\Delta ABC\backsim \Delta DEC\left( g-g \right)$. Suy ra, $\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DC}}$

Vì AD là phân giác của góc BAC trong tam giác ABC nên $\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$, suy ra $\frac{{AC}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BD}}$

Do đó: $\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AB}}{{BD}}$. Suy ra $BD = DE$