Câu 2.5 trang 54 SBT môn Toán 8 tập 2: Cho x > 0, chứng tỏ...

a. Cho x > 0, chứng tỏ

$x + {1 \over 2} \ge 2$

b. Từ kết quả câu a, nếu x < 0 sẽ có kết quả nào ?

a. Nếu có $x + {1 \over 2} \ge 2$  thì suy ra $x + {1 \over x} \ge 2$

nên ta sẽ chứng tỏ $x + {1 \over x} - 2 \ge 0$

Ta có, $x + {1 \over x} - 2 = {{{x^2} + 1 - 2x} \over x} = {{{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \over x}$

Vì ${\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0$ với x bất kì và x > 0 nên ${{{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \over x} \ge 0$

Vậy $x + {1 \over x} - 2 \ge 0$ , nghĩa là $x + {1 \over x} \ge 2$

b. Nếu x < 0, ta đặt a = -x thì a > 0

Từ kết quả câu a, ta có $a + {1 \over a} \ge 2$

Thay a = -x, ta có:

$- x = {1 \over { - x}} \ge 2$            (1)

Nhân hai vế của (1) với số -1, ta có:

$x + {1 \over x} \le  - 2$

Vậy, với x < 0 thì $x + {1 \over x} \le  - 2$