Bài 4.4 trang 80 Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức: Cho ∆ABC có trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d qua G và song song với AB...

Cho ∆ABC có trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d qua G và song song với AB, d cắt BC tại điểm M. Chứng minh rằng $BM = \dfrac{1}{3}BC$

Áp dụng tính chất trọng tâm G trong tam giác ABC và định lí Thalès vì MG //AB

Lấy D là trung điểm của cạnh BC.

Khi đó, AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên điểm G nằm trên cạnh AD.

Ta có $\dfrac{{AG}}{{A{\rm{D}}}} = \dfrac{2}{3}$ hay $AG = \dfrac{2}{3}A{\rm{D}}$

Vì MG // AB, theo định lí Thalès, ta suy ra: $\dfrac{{AG}}{{A{\rm{D}}}} = \dfrac{{BM}}{{B{\rm{D}}}} = \dfrac{2}{3}$

Ta có BD = CD (vì D là trung điểm của cạnh BC) nên $\dfrac{{BM}}{{BC}} = \dfrac{{BM}}{{2B{\rm{D}}}} = \dfrac{2}{{2.3}} = \dfrac{1}{3}$

Do đó $BM = \dfrac{1}{3}BC$ (đpcm).