Bài 9.16 trang 92 Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức: Cho hình thang ABCD (AB // CD) và các điểm M...

Cho hình thang ABCD (AB // CD) và các điểm M, N lần lượt trên cạnh AD và BC sao cho 2AM=MD, 2BN=NC. Biết AB=5cm,CD=6cm. Hãy tính độ dài đoạn thẳng MN

Gọi I là giao điểm của AC và MN

Sử dụng các tam giác đồng dạng để tính độ dài MI, IN. Từ đó tính độ dài đoạn MN.

Gọi I là giao điểm của AC và MN

Vì 2AM=MD suy ra $\frac{{AM}}{{M{\rm{D}}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{AM}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}$

Vì 2BN=NC suy ra $\frac{{BN}}{{NC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{NC}}{{CB}} = \frac{2}{3}$

Xét hình thang ABCD có $\frac{{AM}}{{M{\rm{D}}}} = \frac{{BN}}{{NC}}$ suy ra MN // AB //DC

Xét hai tam giác AMI và ADC có: góc A chung, $\widehat {AIM} = \widehat {AC{\rm{D}}}$ (do MN// DC)

Suy ra $\Delta AMI \backsim \Delta A{\rm{D}}C$ suy ra: $\frac{{AM}}{{{\rm{AD}}}} = \frac{{MI}}{{DC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MI = \frac{1}{3}.DC = \frac{1}{3}.6 = 2(cm)$

Xét hai tam giác CNI và CBA có góc C chung, $\widehat {CIN} = \widehat {CAB}$ (do MN // AB)

Suy ra $\Delta CNI \backsim \Delta CBA$ suy ra: $\frac{{CN}}{{CB}} = \frac{{NI}}{{BA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow NI = \frac{2}{3}.BA = \frac{2}{3}.5 = \frac{{10}}{3}$(cm)

MN = MI + IN = $2 + \frac{{10}}{3} = \frac{{16}}{3}(cm)$