Bài 9.26 trang 103 Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức: Cho hai hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’ thỏa mãn AC=3AB...

Cho hai hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’ thỏa mãn AC=3AB, B′D′=3A′B′

a) Chứng minh rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’

b) Nếu A’B’ = 2AB và diện tích hình chữ nhật ABCD là 2m² thì diện tích hình chữ nhật A’B’C’D’ là bao nhiêu

a) Chứng minh ΔABC $\backsim$ ΔC′D′B′ và ΔC′D′B′=ΔA′B′C′ suy ra ΔABC$\backsim$ ΔA′B′C′

b) Xét tỉ lệ hai tam giác ABCD và A’B’C’D’, có

$\frac{{AB.BC}}{{A’B’.B’C’}} = \frac{{AB}}{{A’B’}}.\frac{{BC}}{{B’C’}} = \frac{1}{4}$

Suy ra diện tích hình chữ nhật A’B’C’D’

a) Có AC=3AB => $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{3}$

- Có B′D′=3A′B′ => $\frac{{A’B’}}{{B’D’}} = \frac{1}{3}$

=> $\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{AC}}{{B’D’}}$

Xét tam giác vuông ABC (vuông tại A) và tam giác vuông A’B’D’ (vuông tại C) có

=> $\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{AC}}{{B’D’}}$

=> ΔABC $\backsim$ ΔC′D′B′ (1)

- Xét ΔC′D′B′ và ΔA′B′C′

Có B’C’ chung, A′B′=C′D′, A′C′=B′D′ (hai hình chéo của chữ nhật)

=> ΔC′D′B′=ΔA′B′C′ (2)

Từ (1) và (2) chung =>ΔABC$\backsim$ ΔA′B′C′

b) - Vì A′B′=2AB => $\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{1}{2}$

mà ΔABC ∽ ΔA’B’C’ => $\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{AC}}{{A’C’}} = \frac{{BC}}{{B’C’}} = \frac{1}{2}$

- Có diện tích ABCD là: AB.BC

Có diện tích A’B’C’D’ là: A′B′.B′C′

=> Xét tỉ lệ hai tam giác ABCD và A’B’C’D’, có

$\frac{{AB.BC}}{{A’B’.B’C’}} = \frac{{AB}}{{A’B’}}.\frac{{BC}}{{B’C’}} = \frac{1}{4}$

=> $S_{A′B′C′D′}=4S_{ABCD}$

mà $S_{ABCD}=2m^2$ => $S_{A′B′C′D′}=8m^2$