Bài 9.27 trang 103 Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức: Cho tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k...

Cho tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k. Gọi A’H’ và AH lần lượt là các đường cao đỉnh A’ và A của tam giác A’B’C’ và tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) $\frac{{A’H’}}{{AH}} = k$

b) Diện tích tam giác A’B’C’ bằng $k^2$ lần diện tích tam giác ABC

a) Vì ΔA′B′C′ ∽ ΔABC

=> $\widehat B = \widehat {B’};\frac{{A’H’}}{{AB}} = \frac{{A’C’}}{{AC}} = \frac{{B’C’}}{{BC}} = k$

Chứng minh ΔA′H′B′ ∽ ΔAHB suy ra các hệ số tỉ lệ và chứng minh được $\frac{{A’H’}}{{AH}} = k$

b) Tính diện tích tam giác ABC và A”B”C” từ đó sẽ xét tỉ số diện tích của hai tam giác đó.

a) Vì ΔA′B′C′ ∽ ΔABC

=> $\widehat B = \widehat {B’};\frac{{A’B’}}{{AB}} = \frac{{A’C’}}{{AC}} = \frac{{B’C’}}{{BC}} = k$

Xét hai tam giác vuông A’H’B’ (vuông tại H’) và tam giác vuông AHB (vuông tại H), có:

$\widehat B = \widehat {B’}$

=> ΔA′H′B′ ∽ ΔAHB

=> $\frac{{A’H’}}{{AH}} = \frac{{A’B’}}{{AB}}$

Mà $\frac{{A’B’}}{{AB}} = k$

=> $\frac{{A’H’}}{{AH}} = k$

b) Có diện tích tam giác ABC là: $\frac{1}{2}$AH.BC

Có diện tích tam giác A’B’C’ là: $\frac{1}{2}$A′H′.B′C′

Xét tỉ lệ giữa hai tam giác A’B’C’ và tam giác ABC có:

$\frac{{\frac{1}{2}A’H’.B’C’}}{{\frac{1}{2}AH.BC}} = \frac{{A’H’}}{{AH}}.\frac{{B’C’}}{{BC}} = k.k = {k^2}$