Bài 9.35 trang 109 Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH...

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh ΔHBM∽ΔHAN

Chứng minh $\widehat {HAC} = \widehat {ABC} = \widehat {ABH}$ và $\frac{{HB}}{{HA}} = \frac{{BM}}{{AN}}$ suy ra ΔHBM∽ΔHAN

$\begin{array}{l}\Delta BAC \backsim \Delta BHA\left( {\widehat A = \widehat H;{{\widehat B}^{}}\ chung} \right)\\ \Rightarrow \frac{{BA}}{{BH}} = \frac{{AC}}{{HA}} \Rightarrow \frac{{HB}}{{HA}} = \frac{{BA}}{{AC}}(1)\end{array}$

$\begin{array}{l}\Delta BAC \backsim \Delta AHC\left( {\widehat A = \widehat H,{{\widehat C}^{}}chung} \right)\\ \Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {ABC}(2)\end{array}$

Vì M là trung điểm của AB nên $\frac{{BM}}{{BA}} = \frac{1}{2}$

Vì N là trung điểm của AC nên $\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{BM}}{{AN}} = \frac{{BA}}{{AC}}(3)$

Từ (1), (3) suy ra: $\frac{{HB}}{{HA}} = \frac{{BM}}{{AN}}$

Xét hai tam giác HBM và HAN có:

$\widehat {HAC} = \widehat {ABC} = \widehat {ABH}$

$\frac{{HB}}{{HA}} = \frac{{BM}}{{AN}}$

$\Rightarrow \Delta HBM \backsim \Delta HAN$ (c.g.c)