Câu hỏi/bài tập:
Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9.77 sao cho AD là phân giác của góc BAC, DE và DF lần lượt vuông góc với AC và BC . Chứng minh rằng:
a) BDBC=ABAB+AC, từ đó suy ra AE=AB.ACAB+AC;
b) ΔDFC ∽ ΔABC;
c) DF = DB
Sử dụng các tam giác đồng dạng để chứng minh.
Advertisements (Quảng cáo)
a) Kẻ đường thẳng qua D vuông góc và cắt AB tại K. Khi đó DK = AE.
Vì DE // AB, DK // AC nên ΔBDK∽ và \Delta CDE\backsim \Delta CBA.
Suy ra \frac{BD}{BC}=\frac{DK}{CA}=\frac{DE}{CA}=\frac{DE}{BA}.\frac{BA}{CA}=\frac{DC}{BC}.\frac{AB}{AC}.
Do vậy BD=\frac{DC.AB}{AC} , hay \frac{DC}{BD}=\frac{AB}{AC} (*)
Từ (*) suy ra \frac{BC}{BD}=1+\frac{DC}{BD}=1+\frac{AC}{AB}=\frac{AB+AC}{AB}, do đó \frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}.
Theo định lý Thalès, ta có: \frac{AE}{AC}=\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}. Suy ra AE = \frac{AB.AC}{AB+AC}.
b) Hai tam giác vuông DFC (vuông tại D) và ABC (vuông tại A) có góc nhọn C chung nên \Delta DFC\backsim \Delta ABC suy ra \frac{DF}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{DC}{DB}.\frac{DB}{AC}=\frac{AC}{AB}.\frac{DB}{AC}=\frac{DB}{AB}.
Do đó DF = DB.