Câu hỏi/bài tập:
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Các đường thẳng qua E, F lần lượt vuông góc và cắt CH, BH tại P, Q. Chứng minh rằng PQ // BC và ΔHPQ∽.
Chứng minh dựa vào định lý Thales, Thales đảo và các trường hợp đồng dạng của hai tam giác.
Advertisements (Quảng cáo)
(H.9.32). Vì P // BF (cùng vuông góc với CF) nên theo định lý Thales ta có \frac{HE}{HB}=\frac{HP}{HF}, hay HP=\frac{HE.HF}{HB}.
Tương tự, vì FQ // CE (cùng vuông góc với BE) nên \frac{HF}{HC}=\frac{HQ}{HE}, hay HQ=\frac{HE.HF}{HC}. Do vậy \frac{HP}{HQ}=\frac{HC}{HB}.
Theo định lý Thales đảo ta suy ra PQ // BC.
Mặt khác, hai tam giác vuông BHF (vuông tại F) và CHE (vuông tại E) đồng dạng vì có một cặp góc nhọn bằng nhau là \widehat{BHF}=\widehat{CHE} (hai góc đối đỉnh). Suy ra \frac{HB}{HC}=\frac{HF}{HE}.
Do vậy \frac{HP}{HQ}=\frac{HC}{HB}=\frac{HE}{HF}.
Hai tam giác HPQ và HEF có: \frac{HP}{HQ}=\frac{HE}{HF} (theo chứng minh trên), \widehat{PHQ}=\widehat{EHF} (hai góc đối đỉnh).
Do đó \Delta HPQ\backsim \Delta HEF (c.g.c).