Câu hỏi/bài tập:
Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A và tam giác MNP cân tại đỉnh M. Biết rằng $\widehat{BAC}=\widehat{PMN}$, AB=2MN. Chứng minh ΔMNP ∽ ΔABC và tìm tỉ số đồng dạng .
Sử dụng tam giác ABC cân tại A, tam giác MNP cân tại M để chứng minh ΔMNP ∽ ΔABC và tìm tỉ số đồng dạng của chúng.
Vì ΔABC cân nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{\widehat{ABC}+\widehat{ACB}}{2}=\frac{{{180}^{o}}-\widehat{BAC}}{2}$ (1).
Tương tự, ΔMNP cân tại M nên $\widehat{MNP}=\frac{{{180}^{o}}-\widehat{PMN}}{2}$ (2).
Advertisements (Quảng cáo)
Vì $\widehat{BAC}=\widehat{PMN}$ nên từ (1) và (2) ta suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{MNP}$.
Lấy B’, C’ lần lượt là trung điểm của AB, AC thì ta có B’C’ // BC.
Do đó $\widehat{ABC}=\widehat{AB’C’},\widehat{ACB}=\widehat{AC’B’}$ (các cặp góc đồng vị).
Hai tam giác AB’C’ và MNP có:
$\widehat{BAC}=\widehat{NMP}$ (theo giả thiết),
$AB’=\frac{AB}{2}=MN$ (theo giả thiết),
$\widehat{AB’C’}=\widehat{ABC}=\widehat{MNP}$ (theo chứng minh trên).
Vậy ΔMNP = ΔAB’C’ (g.c.g). Mặt khác, ΔAB’C’ ∽ ΔABC ( vì B’C’ // BC).
Do đó ΔMNP ∽ ΔABC với tỉ số đồng dạng $k=\frac{AB’}{AB}=\frac{1}{2}$.