Bài 5 trang 28 vở thực hành Toán 8 tập 2: Cho biểu thức $P = \frac{x}{{x - 2}} + \frac{x}{{x + 2}} + \frac{{{x^2} - 2x}}{{4 - {x^2}}}$...

Cho biểu thức $P = \frac{x}{{x - 2}} + \frac{x}{{x + 2}} + \frac{{{x^2} - 2x}}{{4 - {x^2}}}$.

a) Viết điều kiện xác định của P và rút gọn biểu thức đó.

b) Tìm các giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị là số nguyên.

Tìm điều kiện xác định của P, sử dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức để rút gọn.

Biến đổi P để tìm các giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên.

a) Điều kiện xác định của P là: $x - 2 \ne 0;x + 2 \ne 0$ và $4 - {x^2} \ne 0$.

Ta có: ${x^2} - 2x = x(x - 2)$ và $4 - {x^2} = \left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)$ nên $\frac{{{x^2} - 2x}}{{4 - {x^2}}} = \frac{{ - x}}{{x + 2}}$.

Do đó $P = \frac{x}{{x - 2}} + \frac{x}{{x + 2}} - \frac{x}{{x + 2}} = \frac{x}{{x - 2}}$.

b) $P = \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{x - 2 + 2}}{{x - 2}} = 1 + \frac{2}{{x - 2}}$ nên $\frac{2}{{x - 2}} = P - 1$.

Nếu $x \in \mathbb{Z};P \in \mathbb{Z}$ thì x – 2 là ước số nguyên của 2, do đó

$x - 2 \in \left\{ { - 2; - 1;1;2} \right\}$ hay $x \in \left\{ {0;1;3;4} \right\}$, cả bốn giá trị này của biến đều thỏa mãn điều kiện xác định của P.

Vậy $x \in \left\{ {0;1;3;4} \right\}$.