Bài 15 trang 85 SBT toán 9 - Cánh diều tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh $\tan \frac{{\widehat B}}{2} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}$ Bước Kẻ đường phân...

Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh $\tan \frac{{\widehat B}}{2} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}$

Bước 1: Kẻ đường phân giác BD.

Bước 2: Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông ABD: $\tan {B_1} = \frac{{AD}}{{AB}}$.

Bước 3: Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác suy ra $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}}$.

Bước 4: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:$\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{AD + CD}}{{AB + BC}} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}$

Kẻ đường phân giác BD của tam giác ABC. Khi đó ta có $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \frac{{\widehat B}}{2}$.

Vì tam giác ABD vuông tại A, ta có $\tan {B_1} = \frac{{AD}}{{AB}}$(1)

Mà AD là đường phân giác của tam giác ABC nên ta có $\frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{BC}}$, suy ra $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}}$.

Do đó $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{AD + CD}}{{AB + BC}} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $\tan {B_1} = \tan \frac{{\widehat B}}{2} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}$.