Bài 2 trang 81 SBT toán 9 - Cánh diều tập 1: Cho tam giác ABC có AB = $\sqrt 2$ cm, BC = $\sqrt 5$ cm...

Cho tam giác ABC có AB = $\sqrt 2$ cm, BC = $\sqrt 5$ cm, AC = $\sqrt 3$ cm. Tỉnh các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc C.

Bước 1: Áp dụng định lý Pythagore đảo để chứng minh tam giác vuông.

Bước 2: Áp dụng: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.

Xét tam giác ABC, ta có: $A{B^2} + A{C^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 5$ và $B{C^2} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = 5$

Ta thấy $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\left( { = 5} \right)$ nên tam giác ABC vuông tại A (định lý Pythagore đảo), do đó góc B và góc C là 2 góc phụ nhau nên:

$\sin C = \cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}$;

$\cos C = \sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt {15} }}{5}$;

$\tan C = \cot B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$;

$\cot C = \tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$.