Bài 24 trang 109 SBT toán 9 - Cánh diều tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, kẻ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O)...

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, kẻ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyển thứ ba cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Gọi N là giao điểm của AD và BC và H là giao điểm của MN và AB (Hình 24).

Chứng minh:

a) $MN \bot AB$

b) $MN = NH$

a) Bước 1: Chứng minh $AC = CM,BD = DM$

Bước 2: Áp dụng định lý Thales trong các tam giác ANC, ACD để suy ra $\frac{{NA}}{{ND}} = \frac{{CM}}{{DM}}$

b) Áp dụng định lý Thales trong các tam giác CAD, CAN, CBA suy ra $\frac{{MN}}{{AC}} = \frac{{NH}}{{CA}}$

a) Ta có $Ax \bot AB,By \bot AB$ (do Ax, By là tiếp tuyến của (O)) nên $Ax//By$.

Mặt khác, do Ax, By, CD là tiếp tuyến của (O)) nên $AC = CM,BD = DM$.

Xét tam giác ANC có $AC//BD$, áp dụng định lý Thales ta được $\frac{{NA}}{{ND}} = \frac{{AC}}{{BD}}$

nên $\frac{{NA}}{{ND}} = \frac{{CM}}{{DM}}$.

Xét tam giác CAD có $\frac{{NA}}{{ND}} = \frac{{CM}}{{DM}}$$\left( {N \in AD,M \in CD} \right)$ do đó $MN//AC$.

Mà $AC \bot AB$ suy ra $MN \bot AB$.

b) Áp dụng định lý Thales trong:

Tam giác CAD có $MN//AC$: $\frac{{MN}}{{AC}} = \frac{{DN}}{{AB}}$(1)

Tam giác CAN có $CA//BD$: $\frac{{DN}}{{AB}} = \frac{{BN}}{{CB}}$ (2)

Tam giác CBA có $NH//CA$: $\frac{{BN}}{{CB}} = \frac{{NH}}{{CA}}$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\frac{{MN}}{{AC}} = \frac{{NH}}{{CA}}$, do đó $MN = NH$