Câu hỏi/bài tập:
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A với R≠r. Đường nối OO’ lần lượt cắt hai đường tròn (O) và (O’) tại B và C. Đường thẳng a lần lượt tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’) tại D và E. Gọi M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh:
a) ^DME=90∘
b) MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’)
c) MD. MB = ME. MC
a) Bước 1: Chứng minh ^BOD=^AO′E.
Bước 2: Chứng minh ˆB=^EAO′=180∘−^EO′A2.
Bước 3: Chứng minh ˆC+ˆB=90∘.
b) Bước 1: Chứng minh IA=ID.
Bước 2: Chứng minh ΔOAI=ΔODI.
c) Chứng minh tam giác BCM đồng dạng với tam giác EDM.
a) Ta có DE tiếp xúc với (O) và (O’) nên DO⊥DE,EO′⊥DE, do đó DO//EO′,
Suy ra ^BOD=^AO′E (2 góc so le trong). (1)
Do BO=DO(=R) nên tam giác BOD cân tại O, do đó ˆB=180∘−^BOD2. (2)
Do AO′=EO′(=r) nên tam giác AO’E cân tại O’, do đó ^EAO′=180∘−^EO′A2. (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra ˆB=^EAO′. (4)
Advertisements (Quảng cáo)
Xét tam giác EAC có nên tam giác EAC vuông tại E, do đó ˆC+^EAO′=90∘ (5)
Từ (4) và (5) suy ra ˆC+ˆB=90∘.
Xét tam giác MBC có ˆC+ˆB+^BMC=180∘ hay 90∘+^BMC=180∘. Vậy ^BMC=90∘ hay ^DME=90∘.
b) Xét tam giác BDA có OB=OA=OD=AB2 nên tam giác BDA vuông tại D hay ^BDA=90∘, do đó ^ADM=90∘.
Xét tam giác AEC có O′E=O′A=O′C=AC2 nên tam giác AEC vuông tại E
hay ^AEC=90∘, do đó ^AEM=90∘.
Xét tứ giác DMEA có ^ADM=^DME=^MEA=90∘ suy ra DMEA là hình chữ nhật,
nên IA=ID.
Xét 2 tam giác OAI và ODI có:
OI chung; OD=OA(=R); IA=ID
Suy ra ΔOAI=ΔODI (c.c.c), do đó ^OAI=^ODI=90∘ hay MA vuông góc với BD tại A.
Vậy MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’).
c) Do MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) nên MA là tiếp tuyến của (O) hay ^BAM=^IAD+^DAB=90∘.
Ta lại có: tam giác ADB cân tại D nên ˆB+^DAB=90∘, do đó ˆB=^IAD.
Mặt khác ^MED=^IAD (DMEA là hình chữ nhật), do đó ^MED=ˆB.
Xét 2 tam giác BCM và EDM có:
^MED=ˆB;
^BMC=90∘
Suy ra ΔBCM∽ (g.g), nên \frac{{MD}}{{EM}} = \frac{{MC}}{{MD}} hay MD.MB = ME.MC.