Bài 26 trang 110 SBT toán 9 - Cánh diều tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Hình chiếu của H trên AB...

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Hình chiếu của H trên AB, AC lần lượt là D, E. Gọi (O) là đường tròn đường kính HB và (O’) là đường tròn đường kính HC. Chứng minh:

a) Điểm D thuộc đường tròn (O) và điểm E thuộc đường tròn (O’);

b) Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài;

c) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’);

d) AH = DE;

e) Diện tích tứ giác DEO’O bằng nửa diện tích tam giác ABC.

a) Chứng minh $OB = OD = OH = \frac{{BH}}{2}$; $O’H = O’E = O’C = \frac{{HC}}{2}$.

b) Chứng minh $OO’ = OH + O’H$.

c) Chứng minh $AH \bot OO’$.

d) Chứng minh ADHE là hình chữ nhật.

e) Bước 1: Chứng minh ODEO’ là hình thang vuông.

Bước 2: Biểu diễn diện tích 2 hình theo công thức.

Bước 3: Vận dụng dữ kiện $AH = DE$, $BC = BH + CH = 2\left( {OD + O’E} \right)$ để biến đổi.

a) Do tam giác BDH vuông tại D và O là trung điểm của BH (BO và HO là bán kính đường tròn (O)) nên $OB = OD = OH = \frac{{BH}}{2}$, do đó D thuộc đường tròn (O).

Do tam giác ECH vuông tại E và O’ là trung điểm của CH (O’H và O’C là bán kính đường tròn (O))nên $O’H = O’E = O’C = \frac{{HC}}{2}$, do đó E thuộc đường tròn (O’).

b) Do tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao, $H \in BC$ nên H nằm giữa B và C.

Mà (O) là đường tròn đường kính HB và (O’) là đường tròn đường kính HC nên H nằm giữa O và O’, do đó $OO’ = OH + O’H$, vậy đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài.

c) Ta có OH, O’H lần lượt là bán kính của (O) và (O’) , và AH vuông góc với OO’ tại H nên AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’).

d) Do tam giác BDH vuông tại D nên $\widehat {BDH} = 90^\circ$, do đó $\widehat {HDA} = 90^\circ$.

Do tam giác ECH vuông tại E nên $\widehat {ECH} = 90^\circ$, do đó $\widehat {HEA} = 90^\circ$.

Xét tứ giác ADHE có $\widehat {HDA} = \widehat {HEA} = \widehat {DAE} = 90^\circ$ nên ADHE là hình chữ nhật, do đó $AH = DE$.

e) Do ADHE là hình chữ nhật nên $IA = ID = IH = IE$.

Xét hai tam giác OID và OIH có:

$OD = OH$;

OI chung;

$ID = IH$

Suy ra $\Delta OID = \Delta OIH$ (c.c.c), do đó $\widehat {OHI} = \widehat {ODI} = 90^\circ$, hay $OD \bot DE$.

Xét hai tam giác OIE và O’IH có:

$O’E = O’H$;

O’I chung;

$IE = IH$

Suy ra $\Delta OIE = \Delta O’IH$(c.c.c), do đó $\widehat {O’HI} = \widehat {O’EI} = 90^\circ$, hay $O’E \bot DE$.

Xét ODEO’ có $OD \bot DE$, $O’E \bot DE$ nên $OD//EO’$, do đó ODEO’ là hình thang vuông và DE là đường cao.

Diện tích hình thang ODEO’ và tam giác ABC lần lượt là: ${S_1} = \frac{{DE\left( {OD + O’E} \right)}}{2};{S_2} = \frac{{AH.BC}}{2}$

Mà $AH = DE$, $BC = BH + CH = 2\left( {OD + O’E} \right)$

Suy ra ${S_1} = \frac{1}{2}{S_2}$.

Vậy diện tích tứ giác DEO’O bằng nửa diện tích tam giác ABC.