Câu hỏi/bài tập:
Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A, B nằm trên đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O), hai tiếp tuyến đó cắt nhau tại M.
a) Tính số đo cung nhỏ AB và số đo cung lớn AB nếu \(\widehat {AMB} = 40^\circ \).
b) Tính diện tích của tứ giác OAMB theo R nếu số đo cung nhỏ AB bằng 120⁰.
a) Áp dụng: Tổng 4 góc trong tứ giác bằng 360⁰ để tính góc AOB, từ đó suy ra số đo 2 cung cần tìm.
b) Bước 1: Tính AM và diện tích tam giác OAM.
Bước 2: Tính BM và diện tích tam giác OBM.
Bước 3: \({S_{AMBO}} = {S_{OMA}} + {S_{OMB}}\).
a) Do MA, MB là 2 tiếp tuyến của (O) nên \(MA \bot OA,MB \bot OB\), hay \(\widehat A = \widehat B = 90^\circ \).
Xét tứ giác OAMB có \(\widehat A + \widehat {AOB} + \widehat B + \widehat {AMB} = 360^\circ \), do đó
\(\widehat {AOB} = 360^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B + \widehat {AMB}} \right) \\= 360^\circ - \left( {90^\circ + 90^\circ + 40^\circ } \right) = 140^\circ .\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có số đo cung nhỏ AB bằng số đo góc ở tâm \(\widehat {AOB}\), bằng \(140^\circ \);
Số đo cung lớn AB là \(360^\circ - 140^\circ = 220^\circ \).
b) Số đo cung nhỏ AB là 120⁰ nên \(\widehat {AOB} = 120^\circ \).
Do MA, MB là 2 tiếp tuyến của (O) nên OA là tia phân giác của góc AOB,
do đó \(\widehat {AOM} = \widehat {BOM} = \frac{{\widehat {AOB}}}{2} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \).
Xét tam giác OMA vuông tại A, ta có
\(MA = AO.\tan \widehat {AOM} = R.\tan 60^\circ = R\sqrt 3 \)
Diện tích tam giác OMA là
\({S_{OMA}} = \frac{1}{2}MA.AO = \frac{1}{2}R\sqrt 3 .R = \frac{{\sqrt 3 {R^2}}}{2}\).
Xét tam giác OMB vuông tại B, ta có
\(MB = BO.\tan \widehat {BOM} = R.\tan 60^\circ = R\sqrt 3 \).
Diện tích tam giác OMB là
\({S_{OMB}} = \frac{1}{2}MB.BO = \frac{1}{2}R\sqrt 3 .R = \frac{{\sqrt 3 {R^2}}}{2}\).
Diện tích AMBO là:
\({S_{AMBO}} = {S_{OMA}} + {S_{OMB}} = \frac{{\sqrt 3 {R^2}}}{2} + \frac{{\sqrt 3 {R^2}}}{2} = \sqrt 3 {R^2}\).