Câu hỏi/bài tập:
Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M di chuyển trên đường tròn (M khác A và B). Vẽ đường tròn (M) tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD của đường tròn (M) lần lượt tại C, D.
a) Chứng minh AC + BD không đổi khi M di chuyển trên đường tròn (O).
b) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
a) Chứng minh BD=BHvà CA=AH, từ đó tính đượcAC+BD.
b) Bước 1: Chứng minh C, M, D thẳng hàng.
Bước 2: Chứng minh ^AMO=^MAC(=^MAO).
Bước 3: Chỉ ra ^AMO+^CMA=^CMO=90∘, từ đó suy ra MO⊥CD.
a) Do H là điểm tiếp xúc của (M) và AB nên BH, AH là tiếp tuyến của (M).
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: BD, DH là 2 tiếp tuyến của (M) cắt nhau tại B nên BD=BH.
Ta lại có: AC, HA là 2 tiếp tuyến của (M) cắt nhau tại A nên CA=AH.
Suy ra AC+BD=AH+BH=AB. Mà AB không đổi (là bán kính của (O)) nên AC + BD không đổi.
b) Vì AC, HA là 2 tiếp tuyến của (M) nên ^AMC=^AMH, BD, DH là 2 tiếp tuyến của (M) nên ^BMH=^DMB.
Mà góc AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên ^AMB=90∘.
Do đó ^AMH+^BMH=^AMC+^DMB=^AMB=90∘,
suy ra ^AMH+^BMH+^AMC+^DMB=90∘+90∘=180∘ hay C,M,D thẳng hàng.
Ta có ΔAMO cân tại O (do MO, AO là bán kính (O)) nên ^AMO=^MAO.
Mặt khác ^MAO=^MAC (do AC, AH là tiếp tuyến (M)) nên ^AMO=^MAO=^MAC
mà ^MAC+^CMA=90∘(ΔCAM vuông) nên ^AMO+^CMA=^CMO=90∘, suy ra MO⊥CM
hay MO⊥CD.
Mà OM là bán kính (O), vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).