Câu hỏi/bài tập:
Cho ba đường tròn (A; 10 cm), (B; 15 cm), (C; 15 cm) tiếp xúc ngoài với nhau đôi một. Đường tròn (A) tiếp xúc với (B) và (C) lần lượt tại C’ và B’. Đường tròn (B) tiếp xúc với (C) tại A’ (Hình 53).
a) Chứng minh AA’ là tiếp tuyến chung của đường tròn (B) và (C).
b) Tính độ dài đoạn thẳng AA′ và diện tích tam giác AB’C’.
a) Bước 1: Chứng minh A thuộc đường trung trực của BC (do AB=AC).
Bước 2: Chứng minh A′ thuộc đường trung trực của BC (doBA′=CA′).
b) Bước 1: Tính AA′: Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác AA′B.
Bước 2: Chứng minh B′C′//BC (áp dụng định lý Thales trong tam giác ABC), từ đó tính được B’C’.
Bước 3: Áp dụng định lý Thales trong tam giác ACA’ để tính AH.
Bước 4: Chứng minh AH⊥C′B′ và tính diện tích tam giác AB’C’.
a) Ta có: AC′=AB′=10cm (bán kính (A)),
Advertisements (Quảng cáo)
BC′=BA′=15cm (bán kính (B)),
CA′=CB′=15cm (bán kính (C)).
Do AB=BC′+AC′=15+10=25cm và AC=CB′+AB′=15+10=25cm nên AB=AC, do đó A thuộc đường trung trực của BC.
Mà BA′=CA′=15cm nên A′ thuộc đường trung trực của BC.
Suy ra AA′ đường trung trực của BC, nên AA′⊥BC tại A’
Vậy AA′ là tiếp tuyến chung của (B) và (C).
b) Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AA′B có:
AA’ = \sqrt {A{B^2} - BA{‘^2}} = \sqrt {{{25}^2} - 15{‘^2}} = 20cm.
Gọi H là giao điểm của AA’ và B’C’.
Ta có BC = BA’ + CA’ = 15 + 15 = 30cm.
Xét tam giác ABC có \frac{{AC’}}{{AB}} = \frac{{AB’}}{{AC}} = \frac{{10}}{{25}} nên B’C’//BC (định lý Thales đảo).
Do đó \frac{{B’C’}}{{BC}} = \frac{{AB’}}{{AC}} hay B’C’ = \frac{{BC.AB’}}{{AC}} = \frac{{30.10}}{{25}} = 12cm.
Xét tam giác ACA’ có HB’//CA’ nên \frac{{AH}}{{AA’}} = \frac{{AB’}}{{AC}} (định lý Thales) hay AH = \frac{{AB’.AA’}}{{AC}} = \frac{{10.20}}{{25}} = 8cm.
Ta có B’C’//BC,AA’ \bot BC nên B’C’ \bot AA’ hay AH \bot C’B’.
Diện tích tam giác AB’C’ là \frac{1}{2}B’C’.AH = \frac{1}{2}.12.8 = 48cm2.