Bài 2.24 trang 29 SBT Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1: Chứng minh rằng với số a > 0, b > 0 bất kì, ta luôn có a/b + b/a ≥ 2...

Chứng minh rằng với số $a > 0,b > 0$ bất kì, ta luôn có $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$.

Chứng minh hiệu $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 \ge 0$, suy ra $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ với mọi $a > 0,b > 0$.

Ta có: $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{ab}} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab}}$

Với $a > 0,b > 0$ thì ${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0,ab > 0$, suy ra $\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab}} \ge 0$.

Do đó, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ với mọi $a > 0,b > 0$.