Bài 3.10 trang 34 SBT Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1: Không dùng MTCT, chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị là số nguyên...

Không dùng MTCT, chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị là số nguyên:

a) $\sqrt {8 + \sqrt {15} } .\sqrt {8 - \sqrt {15} }$;

b) ${\left( {\sqrt {6 - \sqrt {11} } + \sqrt {6 + \sqrt {11} } } \right)^2}$.

+ Với A, B là các biểu thức không âm, ta có $\sqrt A .\sqrt B = \sqrt {AB}$.

+ $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ với mọi biểu thức A.

+ Với A là biểu thức không âm, ${\left( {\sqrt A } \right)^2} = A\left( {A \ge 0} \right)$.

a) $\sqrt {8 + \sqrt {15} } .\sqrt {8 - \sqrt {15} }$

$= \sqrt {\left( {8 + \sqrt {15} } \right)\left( {8 - \sqrt {15} } \right)}$

$= \sqrt {{8^2} - {{\left( {\sqrt {15} } \right)}^2}}$

$= \sqrt {49} = \sqrt {{7^2}} = 7$

Vậy biểu thức $\sqrt {8 + \sqrt {15} } .\sqrt {8 - \sqrt {15} }$ có giá trị là số nguyên.

b) ${\left( {\sqrt {6 - \sqrt {11} } + \sqrt {6 + \sqrt {11} } } \right)^2}$

$= {\left( {\sqrt {6 - \sqrt {11} } } \right)^2} + 2\sqrt {6 - \sqrt {11} } .\sqrt {6 + \sqrt {11} } + {\left( {\sqrt {6 + \sqrt {11} } } \right)^2}$

$= 6 - \sqrt {11} + 2\sqrt {\left( {6 - \sqrt {11} } \right)\left( {6 + \sqrt {11} } \right)} + 6 + \sqrt {11}$

$= 12 + 2\sqrt {{6^2} - {{\left( {\sqrt {11} } \right)}^2}}$

$= 12 + 2\sqrt {25} = 12 + 10 = 22$

Vậy biểu thức ${\left( {\sqrt {6 - \sqrt {11} } + \sqrt {6 + \sqrt {11} } } \right)^2}$ có giá trị là số nguyên.