Không dùng MTCT, chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị là số nguyên:
a) \(\sqrt {8 + \sqrt {15} } .\sqrt {8 - \sqrt {15} } \);
b) \({\left( {\sqrt {6 - \sqrt {11} } + \sqrt {6 + \sqrt {11} } } \right)^2}\).
+ Với A, B là các biểu thức không âm, ta có \(\sqrt A .\sqrt B = \sqrt {AB} \).
+ \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) với mọi biểu thức A.
+ Với A là biểu thức không âm, \({\left( {\sqrt A } \right)^2} = A\left( {A \ge 0} \right)\).
a) \(\sqrt {8 + \sqrt {15} } .\sqrt {8 - \sqrt {15} } \)
Advertisements (Quảng cáo)
\(= \sqrt {\left( {8 + \sqrt {15} } \right)\left( {8 - \sqrt {15} } \right)} \)
\(= \sqrt {{8^2} - {{\left( {\sqrt {15} } \right)}^2}} \)
\(= \sqrt {49} = \sqrt {{7^2}} = 7\)
Vậy biểu thức \(\sqrt {8 + \sqrt {15} } .\sqrt {8 - \sqrt {15} } \) có giá trị là số nguyên.
b) \({\left( {\sqrt {6 - \sqrt {11} } + \sqrt {6 + \sqrt {11} } } \right)^2} \)
\(= {\left( {\sqrt {6 - \sqrt {11} } } \right)^2} + 2\sqrt {6 - \sqrt {11} } .\sqrt {6 + \sqrt {11} } + {\left( {\sqrt {6 + \sqrt {11} } } \right)^2}\)
\( = 6 - \sqrt {11} + 2\sqrt {\left( {6 - \sqrt {11} } \right)\left( {6 + \sqrt {11} } \right)} + 6 + \sqrt {11} \)
\(= 12 + 2\sqrt {{6^2} - {{\left( {\sqrt {11} } \right)}^2}} \)
\(= 12 + 2\sqrt {25} = 12 + 10 = 22\)
Vậy biểu thức \({\left( {\sqrt {6 - \sqrt {11} } + \sqrt {6 + \sqrt {11} } } \right)^2}\) có giá trị là số nguyên.