Bài 3.14 trang 34 SBT Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1: Cho a, b là hai số dương khác nhau thỏa mãn điều kiện a - b = √1...

Cho a, b là hai số dương khác nhau thỏa mãn điều kiện $a - b = \sqrt {1 - {b^2}} - \sqrt {1 - {a^2}}$. Chứng minh rằng ${a^2} + {b^2} = 1$.

+ Với A, B là các biểu thức không âm, ta có $\sqrt A .\sqrt B = \sqrt {AB}$.

+ $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ với mọi biểu thức A.

+ Với A là biểu thức không âm, ${\left( {\sqrt A } \right)^2} = A\left( {A \ge 0} \right)$.

Điều kiện: \(0

Ta có:

$a - b = \sqrt {1 - {b^2}} - \sqrt {1 - {a^2}}$

$a + \sqrt {1 - {a^2}} = \sqrt {1 - {b^2}} + b$

${\left( {a + \sqrt {1 - {a^2}} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {1 - {b^2}} + b} \right)^2}$

${a^2} + 2a\sqrt {1 - {a^2}} + 1 - {a^2} = {b^2} + 2b\sqrt {1 - {b^2}} + 1 - {b^2}$

$a\sqrt {1 - {a^2}} = b\sqrt {1 - {b^2}}$

${\left( {a\sqrt {1 - {a^2}} } \right)^2} = {\left( {b\sqrt {1 - {b^2}} } \right)^2}$

${a^2} - {a^4} = {b^2} - {b^4}$

${a^4} - {b^4} + {b^2} - {a^2} = 0$

$\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - \left( {{a^2} - {b^2}} \right) = 0$

$\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - 1} \right) = 0$

${a^2} + {b^2} - 1 = 0$ (do $a \ne b$ nên ${a^2} - {b^2} \ne 0$) hay ${a^2} + {b^2} = 1$.