Bài 5.20 trang 65 SBT toán 9 - Kết nối tri thức tập 1: Cho AM và AN là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O)...

Cho AM và AN là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O), trong đó M và N là hai tiếp điểm. Gọi E là một điểm thuộc cung nhỏ MN. Tiếp tuyến của (O) tại E cắt AM tại B và cắt AN tại C. Biết $AB = 10cm$, $AC = 7cm$ và $BC = 6cm$. Tính độ dài của các đoạn thẳng AM, AN, BM và CN.

+ Dựa vào tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có $AM = AN$, $BM = BE$, $CE = CN$.

+ $AM + AN = AB + AC + CE$, từ đó tính được AM, AN.

+ $BM = AM - AN,CN = AN - CN$.

Vì AM và AN là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên $AM = AN$.

Vì BM và BE là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên $BM = BE$.

Vì CE và CN là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên $CE = CN$.

Ta có:

$AM + AN = AB + BM + AC + CN$

$= AB + BE + AC + CE = AB + AC + \left( {BE + CE} \right)$

$= AB + AC + BC$

Suy ra $2AM = 10 + 7 + 6 = 23\left( {cm} \right)$ nên $AM = AN = 11,5\left( {cm} \right)$

$BM = AM - AB = 11,5 - 10 = 1,5\left( {cm} \right),$

$CN = AN - AC = 11,5 - 7 = 4,5\left( {cm} \right)$.