a) Chứng minh:
\(x – 4\sqrt {x – 4} = {\left( {\sqrt {x – 4} – 2} \right)^2};\)
b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức:
\(\sqrt {x + 4\sqrt {x – 4} } + \sqrt {x – 4\sqrt {x – 4} } .\)
Gợi ý làm bài
a) Ta có:
\(x – 4\sqrt {x – 4} = \left( {x – 4} \right) – 2.2\sqrt {x – 4} + 4\)
\( = {\left( {\sqrt {x – 4} } \right)^2} – 2.2\sqrt {x – 4} + {2^2} = {\left( {\sqrt {x – 4} – 2} \right)^2}\)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b) A xác định khi: \(x – 4 \ge 0\) và \(x – 4\sqrt {x – 4} \ge 0\)
\(x – 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 4\)
\(\eqalign{
& x – 4\sqrt {x – 4} = \left( {x – 4} \right) – 2.2\sqrt {x – 4} + 4 \cr
& = {\left( {\sqrt {x – 4} – 2} \right)^2} \ge 0 \cr} \)
Ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(A = \sqrt {x + 4\sqrt {x – 4} } + \sqrt {x – 4\sqrt {x – 4} } \)
\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x – 4} + 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x – 4} – 2} \right)}^2}} \)
\( = \left| {\sqrt {x – 4} + 2} \right| + \left| {\sqrt {x – 4} – 2} \right|\)
\( = \sqrt {x – 4} + 2 + \left| {\sqrt {x – 4} – 2} \right|\)
– Nếu
\(\eqalign{
& \sqrt {x – 4} – 2 \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {x – 4} \ge 2 \cr
& \Leftrightarrow x – 4 \ge 4 \Leftrightarrow x \ge 8 \cr} \)
thì: \(\left| {\sqrt {x – 4} – 2} \right| = \sqrt {x – 4} – 2\)
Ta có: \(A = \sqrt {x – 4} + 2 + \sqrt {x – 4} – 2 = 2\sqrt {x – 4} \)
– Nếu:
\(\eqalign{
& \sqrt {x – 4} – 2 < 0 \Leftrightarrow \sqrt {x – 4} < 2 \cr
& \Leftrightarrow x – 4 < 4 \Leftrightarrow x < 8 \cr} \)
thì \(\left| {\sqrt {x – 4} – 2} \right| = 2 – \sqrt {x – 4} \)
Ta có: \(A = \sqrt {x – 4} + 2 + 2 – \sqrt {x – 4} = 4\)