Câu 103 trang 22 SBT Toán 9 Tập 1: Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu...

Chứng minh

$x - \sqrt x  + 1 = {\left( {\sqrt x  - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4}$ với x > 0

Từ đó, cho biết biểu thức ${1 \over {x - \sqrt x  + 1}}$ có giá trị lớn nhất là bao nhiêu ?

Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu ?

Ta có: ${\left( {\sqrt x  - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} = x - \sqrt x  + {1 \over 4} + {3 \over 4} = x - \sqrt x  + 1$

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Ta có: ${1 \over {x - \sqrt x  + 1}} = {1 \over {{{\left( {\sqrt x  - {1 \over 2}} \right)}^2} + {3 \over 4}}}$ có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi ${\left( {\sqrt x  - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4}$  bé nhất.

Vì ${\left( {\sqrt x  - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0$ nên ${\left( {\sqrt x  - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge {3 \over 4}$

Ta có ${\left( {\sqrt x  - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge {3 \over 4}$ bé nhất bằng ${3 \over 4}$

Khi đó: ${1 \over {x - \sqrt x  + 1}} = {1 \over {{3 \over 4}}} = {4 \over 3} \Rightarrow \sqrt x  - {1 \over 2} = 0 \Rightarrow x = {1 \over 4}$

Vậy ${1 \over {x - \sqrt x  + 1}}$ có giá trị lớn nhất bằng ${4 \over 3}$ khi $x = {1 \over 4}$.