Advertisements (Quảng cáo)
Chứng minh
\(x – \sqrt x + 1 = {\left( {\sqrt x – {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4}\) với x > 0
Từ đó, cho biết biểu thức \({1 \over {x – \sqrt x + 1}}\) có giá trị lớn nhất là bao nhiêu ?
Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu ?
Ta có: \({\left( {\sqrt x – {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} = x – \sqrt x + {1 \over 4} + {3 \over 4} = x – \sqrt x + 1\)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: \({1 \over {x – \sqrt x + 1}} = {1 \over {{{\left( {\sqrt x – {1 \over 2}} \right)}^2} + {3 \over 4}}}\) có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \({\left( {\sqrt x – {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4}\) bé nhất.
Vì \({\left( {\sqrt x – {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {\sqrt x – {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge {3 \over 4}\)
Ta có \({\left( {\sqrt x – {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge {3 \over 4}\) bé nhất bằng \({3 \over 4}\)
Khi đó: \({1 \over {x – \sqrt x + 1}} = {1 \over {{3 \over 4}}} = {4 \over 3} \Rightarrow \sqrt x – {1 \over 2} = 0 \Rightarrow x = {1 \over 4}\)
Vậy \({1 \over {x – \sqrt x + 1}}\) có giá trị lớn nhất bằng \({4 \over 3}\) khi \(x = {1 \over 4}\).
Mục lục môn Toán 9 (SBT)