Advertisements (Quảng cáo)
Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn (O) có đường kính AH. Chứng minh rằng:
a) Điểm E nằm trên đường tròn(O);
b) DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
a) Gọi O là trung điểm của AH
Tam giác AEH vuông tại E có EO là đường trung tuyến nên:
\( EO = OA = OH ={{AH} \over 2}\) (tính chất tam giác vuông)
Vậy điểm E nằm trên đường tròn \(\left( {O;{{AH} \over 2}} \right)\)
b) Ta có: OH = OE
suy ra tam giác OHE cân tại O
suy ra: \(\widehat {OEH} = \widehat {OHE}\) (1)
Mà \(\widehat {BHD} = \widehat {OHE}\) (đối đỉnh) (2)
Trong tam giác BDH ta có:
\(\widehat {HDB} = 90^\circ \)
Suy ra: \(\widehat {HBD} + \widehat {BHD} = 90^\circ \) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
\(\widehat {OEH} + \widehat {HBD} = 90^\circ \) (4)
Tam giác ABC cân tại A có AD ⊥ BC nên BD = CD
Tam giác BCE vuông tại E có ED là đường trung tuyến nên:
\(ED = BD = {{BC} \over 2}\) (tính chất tam giác vuông).
Suy ra tam giác BDE cân tại D
Suy ra: \(\widehat {BDE} = \widehat {DEB}\) (5)
Từ (4) và (5) suy ra: \(\widehat {OEH} + \widehat {DEB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DEO} = 90^\circ \)
Suy ra: DE ⊥ EO. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn ((O).