Câu 50 trang 15 SBT Toán 9 tập 2: Tính x và y....

Cho hình vuông ABCD cạnh y (cm). Điểm E thuộc cạnh AB. Điểm G thuộc tia AD sao cho $AG = AD + {3 \over 2}EB.\). Dựng hình chữ nhật GAEF. Đặt EB = 2x (cm). Tính x và y để diện tích của hình chữ nhật bằng diện tích hình vuông và ngũ giác ABCFG có chu vi bằng$100 + 4\sqrt {13} \) (cm)

Theo giả thiết ta có: EB = 2x (cm)

Điều kiện: y > 2x > 0

AE = AB – EB = y – 2x (cm)

AG = AD + DG $= y + {3 \over 2}EB = y + {3 \over 2}.2x = y + 3x$ (cm)

Diện tích hình chữ nhật bằng diện tích hình vuông, ta có phương trình:

$\left( {y - 2x} \right)\left( {y + 3x} \right) = {y^2}$

Mặt khác theo định lí Pitago ta có:

$FC = \sqrt {E{B^2} + D{G^2}}  = \sqrt {4{x^2} + 9{x^2}}  = x\sqrt {13}$ (cm)

Chu vi của ngũ giác ABCFG bằng: 

$\eqalign{ & AB + BC + CF + FG + GA \cr & = AB + BC + CF + FG + GD + AD \cr & = y + y + x\sqrt {13} + y - 2x + 3x + y \cr & = x\left( {1 + \sqrt {13} } \right) + 4y \cr}$

Chu vi ngũ giác bằng $100 + 4\sqrt {13}$ (cm), ta có phương trình:

$x\left( {1 + \sqrt {13} } \right) + 4y = 100 + 4\sqrt {13}$

Ta có hệ phương trình:

$\eqalign{ & \left\{ {\matrix{ {\left( {y - 2x} \right)\left( {y + 3x} \right) = {y^2}} \cr {x\left( {1 + \sqrt {13} } \right) + 4y = 100 + 4\sqrt {13} } \cr } } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {{y^2} + 3xy - 2xy - 6{x^2} = {y^2}} \cr  {\left( {1 + \sqrt {13} } \right)x + 4y = 100 + 4\sqrt {13} } \cr } } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {xy - 6{x^2} = 0} \cr  {\left( {1 + \sqrt {13} } \right)x + 4y = 100 + 4\sqrt {13} } \cr } } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x\left( {y - 6x} \right) = 0} \cr  {\left( {1 + \sqrt {13} } \right)x + 4y = 100 + 4\sqrt {13} } \cr } } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {y - 6x = 0} \cr  {\left( {1 + \sqrt {13} } \right)x + 4y = 100 + 4\sqrt {13} } \cr } } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {y = 6x} \cr  {\left( {1 + \sqrt {13} } \right)x + 4.6x = 100 + 4\sqrt {13} } \cr } } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {y = 6x} \cr  {\left( {25 + \sqrt {13} } \right)x = 100 + 4\sqrt {13} } \cr } } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {y = 6x} \cr  {x = {{4\left( {25 + \sqrt {13} } \right)} \over {25 + \sqrt {13} }}} \cr } } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {y = 6x} \cr  {x = 4} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {y = 24} \cr  {x = 4} \cr} } \right. \cr}$

Giá trị x = 4 và y = 24 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy x = 4 (cm); y = 24 (cm).