Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi I là giao điểm của AD và BE. Chứng minh \(D{I^2} = AI.AD\).
Giải
Vẽ đường tròn ngoại tiếp ngũ giác ABCDE
sđ \(\overparen{AB}\) = sđ \(\overparen{BC}\) = sđ \(\overparen{CD}\) = sđ \(\overparen{DE}\) = sđ \(\overparen{AE}\)= 720 (1)
\(\widehat {{E_1}} = {1 \over 2}\) sđ \(\overparen{AB}\) (tính chất góc nội tiếp) (2)
\(\widehat {{D_1}} = {1 \over 2}\) sđ \(\overparen{AE}\) (tính chất góc nội tiếp) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{D_1}}\)
Xét ∆AIE và ∆AED:
\(\widehat {{E_1}} = \widehat {{D_1}}\) (chứng minh trên)
\(\widehat A\) chung
Advertisements (Quảng cáo)
Suy ra: ∆AIE đồng dạng ∆AED (g.g)
\({{AI} \over {AE}} = {{AE} \over {AD}}\)
\( \Rightarrow \) AE2 = AI. AD (*)
\(\widehat {{E_2}} = {1 \over 2}\) sđ \(\overparen{BCD}\) (tính chất góc nội tiếp) hay \(\widehat {{E_2}} = {1 \over 2}\) (sđ \(\overparen{BC}\) + sđ \(\overparen{CD}\)) (4)
\(\widehat {{I_1}} = {1 \over 2}\) (sđ \(\overparen{DE}\) + sđ \(\overparen{AB}\)) (tính chất góc có đỉnh ở trong đường tròn) (5)
Từ (1), (4) và (5) suy ra: \(\widehat {{E_2}} = \widehat {{I_1}}\)
\( \Rightarrow \) △DEI cân tại D \( \Rightarrow \) DE = DI
DE = AE (gt)
Suy ra: DI = AE (**)
Từ (*) và (**) suy ra: DI2 = AI. AD