Câu 51 trang 108 SBT Toán 9 Tập 2: Chứng minh DI.DI=AI.AD....

Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi I là giao điểm của AD và BE. Chứng minh $D{I^2} = AI.AD$.

Giải

Vẽ đường tròn ngoại tiếp ngũ giác ABCDE

sđ $\overparen{AB}$ = sđ $\overparen{BC}$ = sđ $\overparen{CD}$ = sđ $\overparen{DE}$ = sđ $\overparen{AE}$= 72⁰                        (1)

$\widehat {{E_1}} = {1 \over 2}$ sđ $\overparen{AB}$ (tính chất góc nội tiếp)     (2)

$\widehat {{D_1}} = {1 \over 2}$ sđ $\overparen{AE}$ (tính chất góc nội tiếp)           (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\widehat {{E_1}} = \widehat {{D_1}}$

Xét ∆AIE và ∆AED:

$\widehat {{E_1}} = \widehat {{D_1}}$ (chứng minh trên)

$\widehat A$ chung

Suy ra: ∆AIE đồng dạng ∆AED (g.g)

${{AI} \over {AE}} = {{AE} \over {AD}}$

$\Rightarrow$ AE² = AI. AD     (*)

$\widehat {{E_2}} = {1 \over 2}$ sđ $\overparen{BCD}$ (tính chất góc nội tiếp) hay $\widehat {{E_2}} = {1 \over 2}$ (sđ $\overparen{BC}$ + sđ $\overparen{CD}$)            (4)

$\widehat {{I_1}} = {1 \over 2}$ (sđ $\overparen{DE}$ + sđ $\overparen{AB}$) (tính chất góc có đỉnh ở trong đường tròn)                                 (5)

Từ (1), (4) và (5) suy ra: $\widehat {{E_2}} = \widehat {{I_1}}$

$\Rightarrow$ △DEI cân tại D $\Rightarrow$ DE = DI

                DE = AE (gt)

Suy ra: DI = AE    (**)

Từ (*) và (**) suy ra: DI² = AI. AD